2019年，关于我国基础教育未来发展的两份重要文件——《中共中央国务院关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》和《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》在优化教学方式的改革内容中，都强调了“启发式、互动式、探究式”学习的重要性。同年11月，教育部印发《关于加强和改进中小学实验教学的意见》（以下简称《意见》），提出完善实验教学体系、创新实验教学方式、提高教师实验教学能力等8项举措，其中在完善实验教学体系的举措中，明确了由教育部制订中小学实验教学基本目录的要求。在教育部基础教育司指导下，教育部教育技术与资源发展中心（中央电化教育馆）组织专家研制并发布了中小学实验教学基本目录（以下简称《基本目录》），为中学开展数学实验教学指明了路径，构建了基于学生发展需求、以学生为中心的数学实验教学内容，促进学生核心素养的发展。

　　谈到实验，许多人会联想到物理、化学、生物学等自然学科，很少有人会将其与以逻辑推理为主的数学相关联，然而实验是科学研究的基本方法之一，作为一门基础学科，数学也不例外。著名数学家和数学教育家G·波利亚曾指出：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。另一位著名数学家欧拉也曾说：“数学这门学科，需要观察，还需要实验。”

　　什么是数学实验呢？《基本目录》中数学实验是指以探索数学现象、发现数学规律、验证数学结论、解决数学问题为目的，运用有关工具（如纸笔、数学模型，测量工具，作图工具，计算机，图形计算器等），在数学思维活动的参与下，以学生数学化操作为特征的数学探究活动。中学数学课堂中的数学实验是“再发现”的过程，是教师根据教学需要人为地、有目的地、模拟地为学生创设积极的思维背景，使学生通过实际操作获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，其目的是实现做中学、用中学、创中学。

　　数学实验教学注重引导学生亲自操作与实践，使抽象的理论具体化、直观化，可以有效地改变学生学习数学的方式，克服单纯教师讲学生听、教知识学知识等现象，引导学生自主发现数学、体验数学、理解数学和运用数学，有效提高学生观察、归纳等能力，培养创新意识和探索精神，发展核心素养。

　　公理化、形式化是数学最本质的特征，其特殊与一般、具体与抽象的表现形式与其他学科存在很大差别，数学理论的高抽象度往往给普通的学习者带来挑战和压力，一个数学原理可以用抽象符号、直观图形等多种形式表示，造成其适用范围越来越大。对于学生而言，真正地理解数学的本质，掌握数学的原理，学会数学的应用是一系列紧密相连的复杂任务。加之在基础数学教育中，长期以来一直对运算、推理等较为重视，但对于至关重要的实验、观察、归纳、创新等能力的培养却难以在教学实践中落实，造成学生只知道是什么，而不知道为什么，不理解数学知识从何而来的结果。面对数学问题感觉无从下手，觉得数学只是演绎推理、逻辑运算、抽象概括等，因此常会觉得数学学习枯燥无味。数学实验有助于对数学抽象内容的理解，有助于体验数学发现和发展的过程，有助于将数学理论与实际问题有机联系起来。例如探索多边形外角和定理时，学生通过画出三角形、四边形、五边形、六边形、七边形等，使用量角器进行外角的度量并进行求和计算等活动，自主发现其中的规律，而不是简单被告知多边形外角和是定值。数学实验始终以学生为中心，能有效激发学生学习数学的兴趣和积极参与的意识，由“要我学”变为“我要学”，学会独立操作和思考，学会观察问题、发现问题，提出问题，用自己的思维方式和实验方法去分析和解决问题。

　　知识经济时代需要培养大量的创新人才，《意见》中明确指出实验教学是培养创新人才的重要途径。数学实验有助于培养学生的创新意识和创新思维，有助于培养学生动手实践、小组合作的本领，这些是创造才能的重要组成部分。创新意识是数学核心素养的表现之一，创新意识主要是指“主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题；初步学会通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证；勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题。”例如探索系数对二次函数图象的影响时，学生利用图形计算器可以画出许多具体数字系数的二次函数图象，还可以将某个系数设置为可赋值、可控制的变量，通过观察图象的变化情况，归纳、总结出一般性的规律，再从代数角度抽象解释。可见数学实验过程其实就是一个科学研究的过程、探索真理的过程，它有利于学生通过操作和实践，进行观察、归纳、猜想、验证、推理、交流与解决问题等活动，有利于学生把握数学内容的本质，有利于学生独立思考、合作交流等多种学习方式，养成良好的学习习惯，有利于培养学生的探索精神及创新意识。

　　《基本目录》为开展数学实验教学指明了路径，那么如何运用《基本目录》开展有效的数学实验教学呢？我有三点建议：

　　将数学实验融入单元教学设计中，明确数学实验与数学知识之间的内在逻辑关系，以及实验内容与核心素养表现的关联。数学实验教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，整体设计，分步实施，帮助学生更好的构建单元学习框架结构，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，实现学生核心素养的形成和发展。在学习数学概念，引导学生通过数学实验抽象归纳出数学的研究对象及其属性，形成概念关系与结构，进而逐步学会用数学的眼光观察现实世界。例如学习圆锥曲线中的抛物线、椭圆和双曲线的概念时，可在现代信息技术或传统工具的支持下，运用轨迹交点法呈现追踪交点、点动成线的过程，体会解析几何的奇妙之处。在学习数学原理时，引导学生通过数学实验观察猜想、验证推理，根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体系，进而逐步学会用数学的思维思考现实世界。例如学习平行线分线段成比例这一基本事实时，学生可通过在横格本、白纸、数学软件上的作图、测量、计算比值等活动，在不进行证明的情况下对原理进行多角度的验证，加深对基本事实的认识。为了有效提升数学应用的意识和能力，可引导学生通过数学实验在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题，进而逐步学会用数学的语言表达现实世界。

　　教师要善于根据不同的内容和学习任务采用不同的教学方式，优化数学实验教学过程，增强课堂教学实效，突出学生主体地位，鼓励学生经历核心内容的形成和发展过程：数学实验的设计阶段，以学生为主体，教师为指导，培养学生的自主性和创新性；数学实验的执行阶段，以实验过程为主，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；数学实验的结束阶段，引导学生对实验结果进行分析处理，交流分享，撰写实验报告，培养学生的归纳能力、综合分析能力、反思交流能力和文字表达能力。教师要从启发学生思考，培养学生核心素养的目的出发，引导学生主动思考、积极提问、自主探究、积极实践；要关注学生多样化的想法，及时组织学生进行交流反思，开阔全体学生的思维；要密切关注学生的学习状态，根据学生实际表现及时调整实验的内容与进程。

　　教师应重视现代信息技术的应用，促进信息技术与数学实验的深度融合。合理利用信息技术对声音、动画、文本、图像、数据等进行综合处理，丰富教学场景，增加沉浸感、互动感和体验感，激发学生学习数学的兴趣和探究新知的欲望。适时利用数学专用软件、图形计算器等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和对数学知识的建构。例如探索圆的三角函数线与正弦函数之间的关系时，利用图形计算器可以方便、快捷、动态地演示这两者之间的关系，随着角的变化，正弦曲线被准确的画出，直观的动态演示使学生体会到这两者之间的本质联系，并能够区分它们的不同，建立起新的结构体系。有效应用国家智慧教育公共服务平台的各类优质教育教学资源，优化数学实验教学内容与教学过程，优化学生学习方式，精准开展教学评价，促进数学实验更好地适应知识创新、素养形成发展等新要求，构建数字化背景下的新型教与学方式，助力提高教学效率和质量。

　　《基本目录》的发布，引发了数学教学与学习方式的变革，教师应进一步发挥教师的主导作用，突出学生的主体地位，注重实验设计以及学生的探究过程，重视学生知识与能力的协调发展，在数学实验中注重启发式、互动式、探究式教学，克服单纯教师讲学生听的现象，探索单元教学。加强数学实验教学的探索与实践，引导学生通过动手操作、小组实验获得数学知识和方法，进而促进思维发展，激发创新意识。（北京教育科学研究院基础教育教学研究中心中学数学教研室主任 康杰）